Question

如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行，飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是45°，然后沿平行于AB的方向水平飞行1.99×10⁴米到达点D处，在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是60°，求两海岛间的距离AB．

Answer 1

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题,矩形的性质

专题：几何图形问题,数形结合

分析：首先过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，易得四边形ABFE为矩形，根据矩形的性质，可得AB=EF，AE=BF．由题意可知：AE=BF=1100-200=900米，CD=1.99×10⁴米，然后分别在Rt△AEC与Rt△BFD中，利用三角函数即可求得CE与DF的长，继而求得两海岛间的距离AB．

解答：解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°，
∴四边形ABFE为矩形．
∴AB=EF，AE=BF．
由题意可知：AE=BF=1100-200=900米，CD=1.99×10⁴米=19900米．
在Rt△AEC中，∠C=45°，AE=900米．
∴CE=

AE

tan45°

=

900

1

=900（米）． 
在Rt△BFD中，∠BDF=60°，BF=900米．
∴DF=

BF

tan60°

=

900

3

=300

3

（米）．
∴AB=EF=CD+DF-CE=19900+300

3

-900=19000+300

3

（米）． 
答：两海岛间的距离AB为（19000+300

3

）米．

点评：此题考查了俯角的定义、解直角三角形与矩形的性质．注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．