Question

如图1，正方形ABCD的边长为6，点P、Q分别是AB、AD边上的动点，且AP=AQ，点M在AB的延长线上，BE平分∠CBM，PD⊥PE．
（1）求证：PD=PE；
（2）当AP的长为多少时，△PDQ的面积最大，并求出面积最大值．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）判断出△APQ是等腰直角三角形，然后求出∠DQP=135°，再求出∠PBE=135°，从而得到∠DQP=∠PBE，再求出DQ=PB，根据同角的余角相等求出∠ADP=∠BPE，然后利用“角边角”证明△DPQ和△PEB全等，根据全等三角形对应边相等可得PD=PE；
（2）设AP=x，表示出DQ，然后根据三角形的面积公式列式并整理，再根据二次函数的最值问题解答．

解答：（1）证明：∵AP=AQ，∠A=90°，
∴△APQ是等腰直角三角形，
∴∠AQP=45°，
∴∠DQP=135°，
∵BE平分∠CBM，
∴∠CBE=

1

2

×90°=45°，
∴∠PBE=135°，
∴∠DQP=∠PBE，
∵AP=AQ，AB=AD，
∴AB-AP=AD-AQ，
即DQ=PB，
∵PD⊥PE，
∴∠APD+∠BPE=90°，
又∵∠APD+∠ADP=90°，
∴∠ADP=∠BPE，
在△DPQ和△PEB中，

∠ADP=∠BPE DQ=PB ∠DQP=∠PBE

，
∴△DPQ≌△PEB（ASA），
∴PD=PE；

（2）解：设AP=x，则DQ=PB=6-x，
△PDQ的面积=

1

2

DQ•AP=

1

2

（6-x）•x=-

1

2

（x-3）²+

9

2

，
∵a=-

1

2

＜0，
∴当x=3，即AP=3时，△PDQ的面积最大，最大值为

9

2

．

点评：本题考查了正方形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，熟记性质并准确识图确定出全等三角形和全等的条件是解题的关键．