Question

6．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直与x轴，垂足为点B，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过AO的中点C，且与AB相交于点D，OB=4，AD=3，
（1）求反比例函数y=$\frac{k}{x}$的解析式；
（2）求cos∠OAB的值；
（3）求经过C、D两点的一次函数解析式．

Answer 1

分析 （1）设点D的坐标为（4，m）（m＞0），则点A的坐标为（4，3+m），由点A的坐标表示出点C的坐标，根据C、D点在反比例函数图象上结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、m的二元一次方程，解方程即可得出结论；
（2）由m的值，可找出点A的坐标，由此即可得出线段OB、AB的长度，通过解直角三角形即可得出结论；
（3）由m的值，可找出点C、D的坐标，设出过点C、D的一次函数的解析式为y=ax+b，由点C、D的坐标利用待定系数法即可得出结论．

解答 解：（1）设点D的坐标为（4，m）（m＞0），则点A的坐标为（4，3+m），
∵点C为线段AO的中点，
∴点C的坐标为（2，$\frac{3+m}{2}$）．
∵点C、点D均在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的函数图象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=4m}\\{k=2×\frac{3+m}{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{k=4}\end{array}\right.$．
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{4}{x}$．
（2）∵m=1，
∴点A的坐标为（4，4），
∴OB=4，AB=4．
在Rt△ABO中，OB=4，AB=4，∠ABO=90°，
∴OA=$\sqrt{O{B}^{2}+A{B}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，cos∠OAB=$\frac{AB}{OA}$=$\frac{4}{4\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（3））∵m=1，
∴点C的坐标为（2，2），点D的坐标为（4，1）．
设经过点C、D的一次函数的解析式为y=ax+b，
则有$\left\{\begin{array}{l}{2=2a+b}\\{1=4a+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴经过C、D两点的一次函数解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、解直角三角形以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）由反比例函数图象上点的坐标特征找出关于k、m的二元一次方程组；（2）求出点A的坐标；（2）求出点C、D的坐标．本题属于基础题，难度不大，但考查的知识点较多，解决该题型题目时，利用反比例函数图象上点的坐标特征找出方程组，通过解方程组得出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可．