题目内容
9．四边形ABCD为正方形，点E为射线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图1，当点E在线段AC上时．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②求证：AC=CE+CG；
（2）如图2，当点E在线段AC的延长线上时，请你在图2中画出相应图形，并直接写出AC、CE、CG之间的数量关系；
（3）直接写出∠FCG的度数．
分析 （1）①作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF=ED，根据正方形的判定定理证明即可；
②根据三角形全等的判定定理证明△AED≌△CGD，得到AE=CG，证明结论；
（2）根据题意画出图形，与（1）的方法类似，证明△ADE≌△CDG，得到AE=CG，即可得到答案；
（3）根据全等三角形的性质和点E的不同位置求出∠FCG的度数．
解答 
（1）①证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA=∠BCA，
∴EQ=EP，
∵∠QEF+∠FEC=45°，∠PED+∠FEC=45°，
∴∠QEF=∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QEF=∠PED}\\{EQ=EP}\\{∠EQF=∠EPD}\end{array}\right.$，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD，
∴EF=ED，
∴矩形DEFG是正方形；
②∵∠ADE+∠EDC=90°，∠CDG+∠EDC=90°，
∴∠ADE=∠CDG，
在△AED和△CGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDG}\\{DE=DG}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CGD，
∴AE=CG，
∴AC=CE+AE=CE+CG；
（2）AC+CE=CG，
证明：由（1）得，矩形DEFG是正方形，
∴DE=DG，
∵∠ADC=∠EDG=90°，
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠ADE=∠CDG}\\{DE=DG}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDG，
∴AE=CG，
∴AC+CE=CG；
（3）如图1，当点E为线段AC上时，
∵△ADE≌△CDG，∴∠DCG=∠DAE=45°，
∴∠FCG=∠FCD+∠DCG=135°；
如图2，当点E为线段AC的延长线上时，
∠FCG=∠FCD-∠DCG=45°．
点评 本题考查的是正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．
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