Question

20．已知在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E．
（1）若点B，C在AE的两侧，证明：BD=DE+CE；
（2）若点B，C在AE的同侧，其余条件不变，根据题意作出图形，问：BD，DE，CE之间有何关系？请给予证明．

Answer 1

分析 （1）根据已知利用AAS判定△ABD≌△CAE，从而得到BD=AE，AD=CE，因为AE=AD+DE，所以BD=DE+CE；
（2）BD=DE-CE，根据已知利用AAS判定△ABD≌△CAE从而得到BD=AE，AD=CE，因为AD+AE=BD+CE，所以BD=DE-CE．

解答 解：（1）∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∵∠ABD+∠BAE=90°，∠CAE+∠BAE=90°
∴∠ABD=∠CAE，
∵AB=AC，
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠AEC}\\{∠ABD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∵AE=AD+DE，
∴BD=DE+CE；
（2）BD=DE-CE；
∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∴∠ABD+∠DAB=∠DEB+∠CAE，
∴∠ABD=∠CAE，
∵AB=AC，
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠AEC}\\{∠ABD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∴AD+AE=BD+CE，
∵DE=BD+CE，
∴BD=DE-CE．

点评 此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有SSS，SAS，AAS等．这种类型的题目经常考到，要注意掌握．