Question

19．已知AC为⊙O的切线，点B为⊙O上一点，连接BC、AB，AB与⊙O交于点D，连接CD，∠BDC=2∠B．
（1）如图1，求证：DC=DA；
（2）如图2，过O点作OE⊥BC于G交⊙O于点E，交AB于点K，连按DE，求证：DE∥AC．

Answer 1

分析 （1）过点C作直径CF，连接DF，如图1，利用圆周角定理得到∠F+∠FCD=90°，∠B=∠F，再根据切线的性质得到∠FCD+∠ACD=90°，则∠B=∠ACD，然后根据三角形外角性质可证明∠A=∠ACD，从而有DA=DC；
（2）利用垂径定理得到$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，则根据圆周角定理得到∠1=∠2，利用（1）的结论得∠BDC=2∠ACD，所以∠2=∠ACD，于是根据平行线的判定可得到DE∥AC．

解答 证明：（1）过点C作直径CF，连接DF，如图1，
∵CF为直径，
∴∠CDF=90°，
∴∠F+∠FCD=90°，
∵∠B=∠F，
∴∠B+∠FCD=90°，
∵AC为切线，
∴FC⊥AC，
∴∠FCA=90°，即∠FCD+∠ACD=90°，
∴∠B=∠ACD，
∵∠BDC=2∠B，
∴∠BDC=2∠ACD，
而∠BDC=∠A+∠ACD，
∴∠A=∠ACD，
∴DA=DC；

（2）∵OE⊥BC，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，
∴∠1=∠2，
∵∠BDC=2∠ACD，
∴2∠2=2∠ACD，
即∠2=∠ACD，
∴DE∥AC．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理．