Question

8．如图，四边形ABCO为矩形，点A在x轴上，点C在y轴上，且点B的坐标为（-1，2），将此矩形绕点O顺时针旋转90°得矩形DEFO，抛物线y=-x²+bx+c过B，E两点．
（1）求此抛物线的函数关系式．
（2）将矩形ABCO向左平移，并且使此矩形的中心在此抛物线上，求平移距离．
（3）将矩形DEFO向上平移距离d，并且使此抛物线的顶点在此矩形的边上，则d的值是$\frac{25}{9}$或$\frac{34}{9}$．

Answer 1

分析 （1）待定系数法即可解决问题．
（2）矩形ABCO的中心坐标为（-$\frac{1}{2}$，1），可得1=-x²+$\frac{2}{3}$x+$\frac{11}{3}$，解得x=-$\frac{4}{3}$或2，所以平移距离d=-$\frac{1}{2}$-（-$\frac{4}{3}$）=$\frac{5}{6}$．
（3）求出顶点坐标，点E坐标，即可解决问题．

解答 解：（1）由题意，点E的坐标为（2，1），
则$\left\{\begin{array}{l}{-（-1）^{2}-b+c=2}\\{-{2}^{2}+2b+c=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{2}{3}}\\{c=\frac{11}{3}}\end{array}\right.$，
∴此抛物线的解析式为y=-x²+$\frac{2}{3}$x+$\frac{11}{3}$．

（2）∵矩形ABCO的中心坐标为（-$\frac{1}{2}$，1），
∴1=-x²+$\frac{2}{3}$x+$\frac{11}{3}$，
解得x=-$\frac{4}{3}$或2，
∴平移距离d=-$\frac{1}{2}$-（-$\frac{4}{3}$）=$\frac{5}{6}$．

（3）∵y=-x²+$\frac{2}{3}$x+$\frac{11}{3}$=-（x-$\frac{1}{3}$）²+$\frac{34}{9}$，
∴抛物线的顶点坐标为（$\frac{1}{3}$，$\frac{34}{9}$），
∵E（2，1），
∴平移距离d=$\frac{34}{9}$或$\frac{34}{9}$-1=$\frac{25}{9}$，
故答案为$\frac{25}{9}$或$\frac{34}{9}$．

点评 本题考查二次函数与几何变换，矩形的性质旋转变换、平移变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．