题目内容
10．
如图，已知二次函数y=ax2+$\frac{3}{2}$x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B，C，点C的坐标为（8，0），连接AC、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+$\frac{3}{2}$x+c的表达式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时N的坐标．
分析 （1）将点A和点C的坐标代入代入抛物线的解析式，求得a，c的值即可；
（2）先求得点B的坐标，从而得到BC=10，然后依据勾股定理可求得AB2、AC2的值，最后依据勾股定理的逆定理进行判断即可；
（3）设点N的坐标为（n，0）（-2＜n＜8），则BN=n+2，CN=8-n，利用平行线分线段成比例定理可得到$\frac{AM}{AB}$=$\frac{NC}{BC}$=$\frac{8-n}{10}$，然后依据等高的两个三角形的面积比等于底边的长度比可得到S△AMN与n的函数关系式，最后利用二次函数的性质可求得△AMN的面积取得最大值时点N的坐标．
解答 解：（1）将点A和点C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{64a+12+c=0}\end{array}\right.$，
解得：a=-$\frac{1}{4}$，c=4．
∴该二次函数的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x2+$\frac{3}{2}$x+4．
（2）令y=0得：-$\frac{1}{4}$x2+$\frac{3}{2}$x+4=0，解得：x=-2或x=8，
∴点B（-2，0）．
∴BC=10．
在Rt△AOB和Rt△AOC中，依据勾股定理可知：AB2=OB2+AO2=20，AC2=OA2+OC2=80，
∴AB2+AC2=BC2．
∴△ABC为直角三角形．
（3）设点N的坐标为（n，0）（-2＜n＜8），则BN=n+2，CN=8-n．
∵MN∥AC，
∴$\frac{AM}{AB}$=$\frac{NC}{BC}$=$\frac{8-n}{10}$．
∵AO=4，BC=10，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AO=$\frac{1}{2}$×4×10=20．
∴S△ABN=$\frac{n+2}{10}$S△ABC=2（n+2）．
∴S△AMN=$\frac{8-n}{10}$S△AMN=$\frac{1}{5}$（8-n）（n+2）=-$\frac{1}{5}$（n-3）2+5．
∴当n=3时，即N（3，0）时，△AMN的面积最大，最大值为5．
点评 本题主要考查的是二次函数函数的综合应用，解答本题主要应用了勾股定理、勾股定理的逆定理、平行线分线段成比例定理，列出△AMN的面积与点N的横坐标n之间的关系式是解题的关键．
全优冲刺100分系列答案
英才点津系列答案
为参加学校的“我爱古诗词”知识竞赛，小王所在班级组织了一次古诗词知识测试，并将全班同学的分数（得分取正整数，满分为100分）进行统计，以下是根据这次测试成绩制作的不完整的频率分布表和频率分布直方图． | 组别 | 分组 | 频数 | 频率 |
| 1 | 50≤x＜60 | 9 | 0.18 |
| 2 | 60≤x＜70 | a | |
| 3 | 70≤x＜80 | 20 | 0.40 |
| 4 | 80≤x＜90 | 0.08 | |
| 5 | 90≤x≤100 | 2 | b |
| 合计 |
（1）求出a、b、x、y的值；
（2）若要从小明、小敏等五位成绩优秀的同学中随机选取两位参加竞赛，请用“列表法”或“树状图”求出小明、小敏同时被选中的概率．（注：五位同学请用A、B、C、D、E表示，其中小明为A，小敏为B）
如图所示，△ABC的外接圆⊙O的半径为2，过点C作∠ACD=∠ABC，交BA的延长线于点D，若∠ABC=45°，∠D=30°．
2016年里约奥运会，中国跳水队赢得8个项目中的7块金牌，优秀成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD的高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．