Question

7．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，Rt△EFG中，EF=4，EG=3，∠GEF=90°，与点B与点E重合时，将△EFG绕点E顺时针旋转α（0°＜α＜90°），直线FG分别与直线AD、BD相交于M、N，当△DMN是直角三角形时，线段MN的值是2$\sqrt{5}$-$\frac{6}{5}$或$\frac{14}{5}$．

Answer 1

分析 如图1中，当∠MND=90°时，由△DMN∽△DBA得$\frac{MN}{AB}$=$\frac{DN}{DA}$由此即可解决问题，
如图2中，当∠DMN=90°时，设BC交FG于H，由MN∥AB，得$\frac{DM}{DA}$=$\frac{MN}{AB}$，由此即可解决问题．

解答 解：如图1中，当∠MND=90°时，
在RT△BGF中，∵BG=3，BF=4，
∴GF=$\sqrt{B{G}^{2}+B{F}^{2}}$=5，
∵$\frac{1}{2}$•BG•BF=$\frac{1}{2}$•GF•BN，
∴BN=$\frac{12}{5}$，
在RT△BCD中，∵BC=8，CD=4，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴DN=4$\sqrt{5}$-$\frac{12}{5}$，
∵∠MDN=∠ADB，∠MND=∠BAD=90°，
∴△DMN∽△DBA，
∴$\frac{MN}{AB}$=$\frac{DN}{DA}$，
∴MN=2$\sqrt{5}$-$\frac{6}{5}$．
如图2中，当∠DMN=90°时，设BC交FG于H，则AM=BH=$\frac{12}{5}$，DM=AD-AM=$\frac{28}{5}$，
∵MN∥AB，
∴$\frac{DM}{DA}$=$\frac{MN}{AB}$，
∴MN=$\frac{DM•AB}{DA}$=$\frac{14}{5}$，
综上所述，MN=2$\sqrt{5}$-$\frac{6}{5}$或$\frac{14}{5}$．

点评 本题考查矩形的性质、旋转变换、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是需要正确画出图形，学会分类讨论，不能漏解，属于中考填空题中的压轴题．