Question

5．如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，E为CD的中点，连接AE、BE，AE=BE，AE⊥BE，若BC-CD=2，AD=$\sqrt{74}$，则AB边的长为13$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 过A作AF⊥CD于点F，首先证明△AFE≌△ECB，设CE=x，则AF=DE=x，CD=2x，则EF=BC=2x+2，DF=EF-DE=2x+2-x=x+2
在Rt△ADF中，x²+（x+2）²=（$\sqrt{74}$）²，在Rt△AEF中，根据AE=$\sqrt{A{F}^{2}+E{F}^{2}}$求出AE，再根据AB=$\sqrt{2}$AE，即可解决问题．

解答 解：过A作AF⊥CD于点F

∵∠F=∠AEB=∠C=90°，
∴∠AEF+∠FAD=90°，∠AEF+∠CEB=90°，
∴∠FAE=∠CEB，
在△AFE和△ECB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠C}\\{∠FAE=∠CEB}\\{AE=EB}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△ECB
∴AF=CE，EF=BC
∵E是CD中点，
∴DE=EC
∵BC-CD=2，
∴BC=CD+2
设CE=x，则AF=DE=x，CD=2x，EF=BC=2x+2
DF=EF-DE=2x+2-x=x+2
在Rt△ADF中，x²+（x+2）²=（$\sqrt{74}$）²
∴x=5
在Rt△AEF中，AE=$\sqrt{A{F}^{2}+E{F}^{2}}$=13，
∴AB=$\sqrt{2}$AE=13$\sqrt{2}$，
故答案为13$\sqrt{2}$

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，灵活运用勾股定理，属于中考常考题型．