题目内容

20．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，下列说法：
①方程x2-2x-8=0是倍根方程；
②若（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，则m=-n或m=-$\frac{1}{4}$n；
③若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，且相异两点M（2+t，s），N（4-t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，则方程ax2+bx+c=0的一个根为2．
其中，正确说法的个数是（　　）
A．0B．1C．2D．3

分析 ①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；
②通过解方程求得方程的两个解，结合“倍根方程”的定义来求m、n的数量关系；
③由方程ax2+bx+c=0是倍根方程，得到x1=2x2，由相异两点M（2+t，s），N（4-t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，通过抛物线对称轴求得x1的值．

解答 解：①由x2-2x-8=0，得
（x-4）（x+2）=0，
解得x1=4，x2=-2，
∵x1≠2x2，或x2≠2x1，
∴方程x2-2x-8=0不是倍根方程．
故①错误；

②解方程（x-2）（mx+n）=0，得
x1=2，x2=-$\frac{n}{m}$，
∵（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，
∴2=-$\frac{2n}{m}$或4=-$\frac{n}{m}$，
即m=-n或m=-$\frac{1}{4}$n．
故②正确；

∵方程ax2+bx+c=0是倍根方程，
∴设x1=2x2，
∵相异两点M（2+t，s），N（4-t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴抛物线的对称轴x=$\frac{2+t+4-t}{2}$=3，
∴x1+x2=6，
∴x1+2x1=6，
∴x1=2，
故③正确．
综上所述，正确的个数是2个．
故选：C．

点评 本题考查了根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，二次函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．

练习册系列答案
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A．4B．3C．2D．1
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