Question

18．方程x+$\frac{1}{x}$=$\frac{5}{2}$=2$\frac{1}{2}$的解为x₁=2，x₂=$\frac{1}{2}$；x+$\frac{1}{x}$=$\frac{10}{3}$=3$\frac{1}{3}$的解为x₁=3，x₂=$\frac{1}{3}$；x+$\frac{1}{x}$=$\frac{17}{4}$=4$\frac{1}{4}$的解为x₁=4，x₂=$\frac{1}{4}$；…
根据你发现的规律，
（1）请写出第7个方程：x+$\frac{1}{x}$=$\frac{8×8+1}{8}$=8$\frac{1}{8}$，它的解为x₁=8，x₂=$\frac{1}{8}$．
（2）请写出第（n-1）个方程：x+$\frac{1}{x}$=$\frac{{n}^{2}+1}{n}$=n$\frac{1}{n}$，它的解为x₁=n，x₂=$\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 （1）根据所给的例子找出规律即可得出结论；
（2）根据（1）中方程的解可得出结论．

解答 解：（1）∵第一个方程为：x+$\frac{1}{x}$=$\frac{5}{2}$=2$\frac{1}{2}$的解为x₁=2，x₂=$\frac{1}{2}$；
第二个方程为：x+$\frac{1}{x}$=$\frac{10}{3}$=3$\frac{1}{3}$的解为x₁=3，x₂=$\frac{1}{3}$；
第三个方程为：x+$\frac{1}{x}$=$\frac{17}{4}$=4$\frac{1}{4}$的解为x₁=4，x₂=$\frac{1}{4}$；
∴第7个方程为：x+$\frac{1}{x}$=$\frac{8×8+1}{8}$=8$\frac{1}{8}$，其解为x₁=8，x₂=$\frac{1}{8}$．
故答案为：x+$\frac{1}{x}$=$\frac{8×8+1}{8}$=8$\frac{1}{8}$，8，$\frac{1}{8}$；

（2）由（1）可知，第（n-1）个方程为x+$\frac{1}{x}$=$\frac{{n}^{2}+1}{n}$=n+$\frac{1}{n}$，它的解为x₁=n，x₂=$\frac{1}{n}$．
故答案为：x+$\frac{1}{x}$=$\frac{{n}^{2}+1}{n}$=n$\frac{1}{n}$，n，$\frac{1}{n}$．

点评 本题考查的是分式方程的解，根据题意找出规律是解答此题的关键．