Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+4与x轴交于A（-2，0）、B两点，与y轴交于C点，其对称轴为直线x=1．
（1）直接写出抛物线的解析式：

 

；
（2）把线段AC沿x轴向右平移，设平移后A、C的对应点分别为A′、C′，当C′落在抛物线上时，求A′、C′的坐标；
（3）除（2）中的点A′、C′外，在x轴和抛物线上是否还分别存在点E、F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）先求得B点的坐标，然后根据待定系数法交点抛物线的解析式；
（2）根据平移性质及抛物线的对称性，求出A′、C′的坐标；
（3）以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，可能存在3种满足条件的情形，需要分类讨论，避免漏解．

解答：解：（1）∵A（-2，0），对称轴为直线x=1．
∴B（4，0），
把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线的表达式为：

4a-2b+4=0 16a+4b+4=0

，
解得：

a=- 1 2 b=1

，
∴抛物线的解析式为：y=-

1

2

x²+x+4；

（2）由抛物线y=-

1

2

x²+x+4可知C（0，4），
∵抛物线的对称轴为直线x=1，根据对称性，
∴C′（2，4），
∴A′（0，0）．

（3）存在．
设F（x，-

1

2

x²+x+4）．
以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，
①若AC为平行四边形的边，如答图1-1所示，则EF∥AC且EF=AC．

过点F₁作F₁D⊥x轴于点D，则易证Rt△AOC≌Rt△E₁DF₁，
∴DE₁=2，DF₁=4．
∴-

1

2

x²+x+4=-4，
解得：x₁=1+

17

，x₂=1-

17

．
∴F₁（1+

17

，-4），F₂（1-

17

，-4）；
∴E₁（3+

17

，0），E₂（3-

17

，0）．
②若AC为平行四边形的对角线，如答图1-2所示．
∵点E₃在x轴上，∴CF₃∥x轴，
∴点C为点A关于x=1的对称点，
∴F₃（2，4），CF₃=2．
∴AE₃=2，
∴E₃（-4，0），
∵C′（2，4），
所以此种情况不合题意．
综上所述，存在点E、F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形；
点E、F的坐标为：E₁（3+

17

，0），F₁（1+

17

，-4）；E₂（3-

17

，0），F₂（1-

17

，-4）；

点评：本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，根据抛物线的性质求得对称点的问题，平行四边形的性质等．解题关键是根据题意画出图形，根据图形解答问题．