Question

16．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的点，且BE=CF．连结CE，DF．将线段FD绕点F逆时针旋转90°，得到线段FG．
（1）依题意将图1补全；
（2）连结EG，请判断：EG与CF的数量关系是EG=CF，位置关系是EG∥CF；并证明你的结论；
（3）当FG经过BE中点时，写出求∠CDF度数的思路．

Answer 1

分析 （1）根据要求画出图形即可；
（2）只要证明四边形EGFC是平行四边形即可；
（3）首先证明∠CDF=∠BCE=∠G，求出∠G即可解决问题．

解答 解：（1）如图所示：
；

（2）EG与CF的数量关系是：EG=CF，位置关系是：EG∥CF；
证明：∵正方系ABCD，
∴BC=CD，∠ABC=∠BCD=90°．
∵BE=CF，
∴△BCE≌△CDF
∴DF=CE，∠BEC=∠CFD．
∵∠BCE+∠BEC=90°，
∴∠BCE+∠CFD=90°．
即CE⊥DF，
∵线段FD绕点F逆时针旋转90°，得到线段FG，
∴CE∥FG，DF=FG．
∴CE=FG．
∴四边形GFCE是平行四边形．
∴EG=CF，EG∥CF；
故答案为EG=CF，EG∥CF．

（3）当FG经过BE中点P时，
由△BCE≌△CDF，可得∠CDF=∠BCE．
由□GFCE，可得∠BCE=∠G．
即∠CDF═∠G，
由BE=CF=GE，可得PE=$\frac{1}{2}$GE；
利用锐角三角函数，可求∠G的度数，从而可求∠CDF的度数．

点评 本题考查旋转变换、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质的等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．