Question

11．湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本=放养总费用+收购成本）．
（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；
（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为m（kg），销售单价为y元/kg．根据以往经验可知：m与t的函数关系为$m=\left\{\begin{array}{l}20000（{0≤t≤50}）\\ 100t+15000（{50＜t≤100}）\end{array}\right.$；y与t的函数关系如图所示．
①分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y与t的函数关系式；
②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出最大值．（利润=销售总额-总成本）

Answer 1

分析 （1）由放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元可得答案；
（2）①分0≤t≤50、50＜t≤100两种情况，结合函数图象利用待定系数法求解可得；
②就以上两种情况，根据“利润=销售总额-总成本”列出函数解析式，依据一次函数性质和二次函数性质求得最大值即可得．

解答 解：（1）由题意，得：$\left\{\begin{array}{l}{10a+b=30.4}\\{20a+b=30.8}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=0.04}\\{b=30}\end{array}\right.$，
答：a的值为0.04，b的值为30；

（2）①当0≤t≤50时，设y与t的函数解析式为y=k₁t+n₁，
将（0，15）、（50，25）代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{{n}_{1}=15}\\{50{k}_{1}+{n}_{1}=25}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=\frac{1}{5}}\\{{n}_{1}=15}\end{array}\right.$，
∴y与t的函数解析式为y=$\frac{1}{5}$t+15；
当50＜t≤100时，设y与t的函数解析式为y=k₂t+n₂，
将点（50，25）、（100，20）代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{50{k}_{2}+{n}_{2}=25}\\{100{k}_{2}+{n}_{2}=20}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-\frac{1}{10}}\\{{n}_{2}=30}\end{array}\right.$，
∴y与t的函数解析式为y=-$\frac{1}{10}$t+30；

②由题意，当0≤t≤50时，
W=20000（$\frac{1}{5}$t+15）-（400t+300000）=3600t，
∵3600＞0，
∴当t=50时，W_最大值=180000（元）；
当50＜t≤100时，W=（100t+15000）（-$\frac{1}{10}$t+30）-（400t+300000）
=-10t²+1100t+150000
=-10（t-55）²+180250，
∵-10＜0，
∴当t=55时，W_最大值=180250（元），
综上所述，放养55天时，W最大，最大值为180250元．

点评 本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式，根据相等关系列出利润的函数解析式及二次函数的性质是解题的关键．