Question

14．如图，在三角形ABC中，AB=AC，∠ABD=∠CBE，BE=DE，若BC=1，则点C到BD所在直线的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 设∠A=α，∠ABD=∠CBE=β，由三角形外角的性质得到∠BDE=∠A+∠ABD，于是得到∠BDE=α+β，根据等腰三角形的性质得到∠EBD=∠BDE=α+β，根据三角形的内角和列方程α+α+3β+α+3β=180°，得到∠DBC=60°，过C作CF⊥BD于F，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：设∠A=α，∠ABD=∠CBE=β，
∵∠BDE=∠A+∠ABD，
∴∠BDE=α+β，
∵BE=DE，
∴∠EBD=∠BDE=α+β，
∴∠ABC=β+α+β+β=3β+α，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=α+3β，
∴α+α+3β+α+3β=180°，
∴α+2β=60°，
∴∠DBC=60°，
过C作CF⊥BD于F，
∴∠FCB=30°，
∴CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，三角形的外角的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．