Question

6．如图，在?ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H．
（1）求证：△BEF≌△CEH；
（2）求DE的长．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，由AAS证明△BEF≌△CEH即可；
（2）由平行四边形的性质得出CD=AB=3，BC=AD=4，AB∥CD，由平行线的性质得出∠HCE=∠B=60°，证出EF⊥DH，由含30°角的直角三角形的性质得出CH=$\frac{1}{2}$CE=1，求出EH=$\sqrt{3}$CG=$\sqrt{3}$，DH=CD+CH=4，由勾股定理求出DE即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵EF⊥AB∴EF⊥CD，∴∠BFE=∠CHE=90°，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
在△BEF和△CEH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BFE=∠CHE}&{\;}\\{∠BEF=∠CEH}&{\;}\\{BE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△CEH（AAS）；
（2）解：∵EF⊥AB，∠ABC=60°，BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AD=2．
∴BF=1，EF=$\sqrt{3}$．
∵△BEF≌△CEH，
∴BF=CH=1，EF=EH=$\sqrt{3}$，DH=4，
∵∠CHE=90°，
∴DE²=EH²+DH²．
∴DE=$\sqrt{3+16}$=$\sqrt{19}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，由含30°角的直角三角形的性质求出CG是解决问题的关键．