Question

如图，正方形ABCD的边长为1，BC、CD上各有一点P、Q，若∠PAQ=45°，求△CPQ的周长．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,正方形的性质

专题：

分析：利用旋转的性质以及正方形的性质易得∠PAQ=∠EAP，进而得出△PAQ≌△PAE，则可得出PB+DQ=PE，进而得出答案．

解答：解：将△ADQ旋转到△ABE位置，
由旋转可知：△AQD≌△AEB，
∴AQ=AE，BE=DQ，∠DAQ=∠BAE，
∵∠PAQ=45°，∠BAD=90°，
∴∠DAQ+∠BAP=45°，
∴∠BAE+∠BAP=45°，
即：∠EAP=45°，
∴∠PAQ=∠EAP，
在△PAQ和△PAE中，

AQ=AE ∠QAP=∠PAE AP=AP

，
∴△PAQ≌△PAE（SAS），
∴PQ=PE，
∴PQ=PB+DQ，
∴PC+CQ+PQ=BP+DQ+PC+CQ=2AB=2．
即△CPQ的周长为2．

点评：本题考查了旋转的性质以及三角形全等的判定与性质和正方形的性质等知识，根据已知得出PQ=PB+DQ是解题关键．