Question

5．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，点D在边AC上且AD=$\frac{1}{4}$AC，连结BD，F为BD中点，若BC=6，将线段AD绕点A旋转一周，点F始终为BD中点，求点F运动路径的长度．

Answer 1

分析 根据锐角三角函数，可得AC的长，根据三角形中线的性质，可得EF的长，ED的长，根据勾股定理，可得AF的长，根据圆的周长公式，可得答案．

解答 解：如图，
作FE∥BC，交AC于E，
由，∠ACB=90°，tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，若BC=6，得
AC=2AC=12．
由点D在边AC上且AD=$\frac{1}{4}$AC，得
AD=3，CD=12-3=9．
由FE∥BC，BC=6，CD=9，得
FE=$\frac{1}{2}$BC=3，CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{9}{2}$，∠FED=90°．
在Rt△AEF中，由勾股定理，得
AF=$\sqrt{E{F}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（3+\frac{9}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{261}}{2}$，
由线段AD绕点A旋转一周，得
AF绕A点旋转一周，即F点的轨迹是以A点为圆心的圆，
点F运动路径的长度2πr=2π×$\frac{\sqrt{261}}{2}$=$\sqrt{261}$π．

点评 本题考查了轨迹，利用三角形的中位线得出EF的长，ED的长是解题关键．