Question

3．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，点E、F、G、H在以点O为圆心的同一个圆上吗？为什么？

Answer 1

分析 首先利用三角形的中位线定理证得四边形EFGH为平行四边形，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可，则对角互补的四边形四点共圆．

解答 解：E、F、G、H四个点在同一的圆上
理由：如图，顺次连接点E、F、G、H．
∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AC，GH$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AC，
∴EF$\stackrel{∥}{=}$GH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
又∵对角线AC、BD互相垂直，
∴∠1=90°，
∵EF∥AC，
∴∠2=90°，
∵EH∥BD，
∴∠FEH=90°，
∴EF与FG垂直．
∴四边形EFGH是矩形．
∴∠FEH=∠FGH=90°，
∴∠FEH+∠FGH=180°，
∴E、F、G、H四个点在同一的圆上．

点评 本题考查了中点四边形的知识，解题的关键是灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及矩形的判断进行证明，是一道综合题．