Question

如图，已知AC⊥CB，D、E分别为AC、CB的中点，且CD=CE=15，则△BEG的面积为（　　）

• A、50
• B、60
• C、75
• D、90

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：如图，连接DE、AB．根据三角形的面积公式以及图形推知S_△ACE=S_△BCD，S_△AGB=S_{四边形CDGE}．然后由三角形中位线的性质、相似三角形△DEG∽△BAG的面积的比等于相似比的平方证得
S_△BAG=4S_△DGE，最后利用“分割法”知S_△DCE+S_△DGE+S_△AGB+S_△ADG+S_△BEG=S_△DCE+

1

3

S_△DCE+

4

3

S_△DCE+2S_△BEG=S_△ABC，即2S_△BEG=S_△ABC-

8

3

S_△DCE=150．

解答：解：如图，连接DE、AB．
∵D、E分别为AC、CB的中点，且CD=CE，
∴AC=2CD，BC=2CE．
又∵AC⊥CB，
∴S_△ACE=

1

2

CE•AC=

1

2

×CE•2CD=CE•CD，S_△BCD=

1

2

CD•BC=

1

2

×CD•2CE=CE•CD，
∴S_△ACE=S_△BCD，
∴S_△ACE-S_{四边形CDGE}=S_△BCD-S_{四边形CDGE}，即S_△ADG=S_△BEG．
又∵S_△AEB=S_△ACE（等底同高的两个三角形的面积相等），
∴S_△AGB=S_{四边形CDGE}．
∵D、E分别为AC、CB的中点，
∴DE∥AB，

DE

AB

=

1

2

，
∴△DEG∽△BAG，
∴

S△DEG

S△BAG

=(

DE

AB

)2=

1

4

，
∴S_△BAG=4S_△DGE，
∴

1

3

S_△DCE=S_△DGE．
∴S_△DCE+S_△DGE+S_△AGB+S_△ADG+S_△BEG=S_△DCE+

1

3

S_△DCE+

4

3

S_△DCE+2S_△BEG=S_△ABC，即2S_△BEG=S_△ABC-

8

3

S_△DCE=

1

2

×2CE•2CD-

8

3

×

1

2

×CD•CE=

2

3

×15×15=150，
则S_△BEG=75．
故选C．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质．解答该题时，注意利用“分割法”来求△BEG的面积．