Question

5．某医药研究所开发一种新药，实验数据显示，如果成人按规定的剂量服药，1.5小时内血液中含药量y₁（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可以近似地用二次函数刻画（0≤x＜1.5），服药后1小时，血液中含药量达到最高值200毫克/百毫升，1.5小时后（包含1.5小时），经过凋查，测得如下数据：

x	1.5	2.5	3	4.5	5	…
y	150	90	75	50	45	…

（1）求出1.5小时内血液中含药量y₁与时间x之间的函数关系式．
（2）在坐标系中描出上述表格中各点，猜想并求出1.5小时后血液中含药量y₂与时间x所满足的函数关系式．
（3）当血液中的含药量大于或等于72毫克/百毫升时属于“治疗最佳期”，请问：服药后哪一段时间属于“治疗最佳期”？
（4）当血液中的含药量大于或等于30毫克/百毫升时属于“治疗有效期”，假设某病人晚上20：00服药，第二天早上7：00时是否应该再一次服药，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据服药后1小时，血液中含药量达到最高值200毫克/百毫升可设抛物线解析式为y₁=a（x-1）²+200，将点（0，0）代入求解可得；
（2）观察数据可知x、y乘积均为225，可得y₂=$\frac{225}{x}$；
（3）分别求出y₁=72和y₂=72的时间x，可得“治疗最佳期”时间段；
（4）晚上20：00服药到第二天早上7：00共9小时，求出x=9时y的值比较可得．

解答 解：（1）根据题意，设y₁=a（x-1）²+200，
将点（0，0）代入，得：a+200=0，
解得：a=-200，
故y₁=-200（x-1）²+200；

（2）由表格数据可知xy=225，
故y₂=$\frac{225}{x}$；

（3）根据题意，-200（x-1）²+200=72，
整理，得：25x²-50x+9=0，
解得：x₁=$\frac{1}{5}$，x₂=$\frac{9}{5}$＞$\frac{3}{2}$（舍去）；
由$\frac{225}{x}$=72，解得：x=$\frac{25}{8}$，
∴服药后$\frac{1}{5}$h至$\frac{25}{8}$h属于“治疗最佳期”；

（4）根据题意，当x=11时，y=$\frac{225}{11}$=20$\frac{5}{11}$＜30，
故病人晚上20：00服药，第二天早上7：00时应该再一次服药．

点评 本题主要考查二次函数与反比例函数的应用，根据题意准确确定血液中的含药量对应时间和不同时刻对应血液中的含药量是理解题意的关键．