Question

在正方形ABCD中，点P是CD边上一动点，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F．
（1）如图①，请探究BE、DF、EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系？
（2）若点P在DC的延长线上，如图②，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？
（3）若点P在CD的延长线上，如图③，请直接写出结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：计算题

分析：（1）在图①中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：BE-DF=EF，理由为：由BE垂直于AP，DF垂直于AP，得到一对直角相等，再由四边形ABCD为正方形，得到AB=AD，且∠BAD为直角，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用AAS得到三角形ABE与三角形DFA全等，利用全等三角形对应边相等得到BE=AF，AE=DF，根据AF-AE=EF，等量代换即可得证；
（2）在图②中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：DF-BE=EF，理由同（1）；
（3）在图③中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：DF+BE=EF，理由同（1）．

解答：解：（1）在图①中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：BE-DF=EF；
证明：∵BE⊥PA，DF⊥PA，
∴∠BEA=∠AFD=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=90°，
又∵∠AFD=90°，
∴∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
在△BAE和△ADF中，

∠BEA=∠AFD ∠BAE=∠ADF AB=DA

∴△BAE≌△ADF（AAS），
∴BE=AF，AE=DF，
∵AE-AF=EF，
∴DF-BE=EF．

（2）在图②中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：DF-BE=EF；
∵BE⊥PA，DF⊥PA，
∴∠BEA=∠AFD=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=90°，
又∵∠AFD=90°，
∴∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
在△BAE和△ADF中，

∠BEA=∠AFD ∠BAE=∠ADF AB=DA

∴△BAE≌△ADF（AAS），
∴BE=AF，AE=DF，
∵AE-AF=EF，
∴DF-BE=EF．

（3）在图③中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：DF+BE=EF，
理由为：∵BE⊥PA，DF⊥PA，
∴∠BEA=∠AFD=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=90°，
又∵∠AFD=90°，
∴∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
在△BAE和△ADF中，

∠BEA=∠AFD ∠BAE=∠ADF AB=DA

∴△BAE≌△ADF（AAS），
∴BE=AF，AE=DF，
∵AE+AF=EF，
∴DF+BE=EF．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．