Question

如图，矩形ABCD中，点G是AD的中点，GE⊥CG交AB于E，BE=BC，连CE交BG于F，则∠BFC等于（　　）

• A、45°
• B、60°
• C、67.5°
• D、72°

Answer 1

考点：矩形的性质

专题：

分析：判断出△BCE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠BCE=∠BEC=45°，根据同角的余角相等求出∠AGE=∠DCG，然后根据两组角对应相等的两三角形相似求出△AGE和△DCG相似，根据相似三角形对应边成比例可得

AG

CD

=

EG

CG

=

DG

CD

，再判断出△CDG和△CGE相似，根据相似三角形对应角相等可得∠DCG=∠GCE，然后求出∠DCG=22.5°，再根据矩形的对称性可得∠ABG=∠DCG，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．

解答：解：∵BE=BC，∠ABC=90°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴∠BCE=∠BEC=45°，
∵GE⊥CG，
∴∠AGE+∠CGD=90°，
∵∠DCG+∠CGD=90°，
∴∠AGE=∠DCG，
又∵∠A=∠D=90°，
∴

AG

CD

=

EG

CG

，
∵G是AD的中点，
∴AG=DG，
∴

DG

CD

=

EG

CG

，
∵∠D=∠CGE=90°，
∴△CDG∽△CGE，
∴∠DCG=∠GCE=

1

2

（90°-45°）=22.5°，
∵G是AD的中点，
∴由矩形的对称性可知∠ABG=∠DCG=22.5°，
由三角形的外角性质得，∠BFC=∠ABG+∠BEC=22.5°+45°=67.5°．
故选C．

点评：本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，难点在于判断出相似三角形然后求出∠DCG=22.5°．