Question

15．如图，在△ABC和△DCB中，∠1=∠2，∠3=∠4，P是BC上任意一点．
（1）求证：PA=PD；
（2）若点P改为BC延长线上任意一点，结论还成立吗？为什么？
（3）若P点是AD与BC的交点，我们还能得到什么新的结论？直接写出你的结论．

Answer 1

分析 （1）由已知两对角相等，且夹边为公共边相等，利用ASA得到△ABC≌△DBC，利用全等三角形对应边相等得到AB=DB，再利用SAS得到△ABP≌△DBP，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（2）同（1）中证明相同，进而证明即可；
（3）当P点是AD与BC的交点时，可以得出AD⊥BC结论．

解答 解：（1）在△ABC和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{BC=BC}\\{∠3=∠4}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DBC（ASA），
∴AB=DB，
在△ABP和△DBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DB}\\{∠1=∠2}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△DBP（SAS），
∴AP=DP；
（2）成立，理由如下：
在△ABC和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{BC=BC}\\{∠3=∠4}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DBC（ASA），
∴AB=DB，
在△ABP和△DBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DB}\\{∠1=∠2}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△DBP（SAS），
∴AP=DP；
（3）当P点是AD与BC的交点时，得出AD⊥BC，理由如下：
在△ABC和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{BC=BC}\\{∠3=∠4}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DBC（ASA），
∴AB=DB，
在△ABP和△DBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DB}\\{∠1=∠2}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△DBP（SAS），
∴∠APB=∠BPD=90°，
∴AD⊥BC．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．