Question

14．三角形ABC中，∠BAC=60度，D是BC上一点，且△的外心S在AD上，CD=2BD，过S作SE⊥BC于点E，求DE：SE．

Answer 1

分析 连接SB和SC，根据圆周角定理求出∠BSC，根据三角形的外接圆求出SB=SC，根据等腰三角形的性质求出∠CSE和CE=BE，求出SE，即可求出答案．

解答 解：
连接SB、SC，
∵S为△ABC的外接圆的圆心，∠BAC=60°，
∴SB=SC，∠BSC=2BAC=120°，
∵SE⊥BC，
∴∠CSE=$\frac{1}{2}$∠BSC=60°，BE=CE，
∵DC=2BD，
设BD=x，则CD=2x，BE=CE=1.5x，
则DE=1.5x-x=0.5x，
在Rt△SEC中，tan60°=$\frac{SE}{EC}$，
∴SE=EC×tan60°=2$\sqrt{3}$x，
∴DE：SE=0.5x：2$\sqrt{3}$x=$\sqrt{3}$：12．

点评 本题考查了圆周角定理，三角形的外接圆和外心，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识点，能求出SE和DE的长是解此题的关键．