Question

2．已知AC、EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°
（1）如图1，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF
①求证：△CAE∽△CBF；
②若BE=1，AE=2，求CE的长；
（2）如图2，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且$\frac{AB}{BC}$=$\frac{EF}{FC}$=k时．若BE=1，AE=2，CE=3，则k=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

Answer 1

分析 （1）①首先根据四边形ABCD和EFCG均为正方形，可得$\frac{AC}{BC}$=$\frac{CE}{CF}$=$\sqrt{2}$，∠ACE=∠BCF；然后根据相似三角形判定的方法，推得△CAE∽△CBF即可；
②首先根据△CAE∽△CBF，判断出∠CAE=∠CBF，再根据∠CAE+∠CBE=90°，判断出∠EBF=90°；然后在Rt△BEF中，根据勾股定理，求出EF的长度，再根据CE、EF的关系，求出CE的长是多少即可．
（2）首先根据相似三角形判定的方法，判断出△ACE∽△BCF，即可判断出$\frac{AE}{BF}$=$\frac{AC}{BC}$=$\sqrt{{k}^{2}+1}$，据此求出BF的长度是多少；然后判断出∠EBF=90°，在Rt△BEF中，根据勾股定理，求出EF的值是多少，进而求出k的值是多少即可．

解答 （1）证明：
①∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{CE}{CF}$=$\sqrt{2}$，
∵∠ACB=∠ECF=45°，
∴∠ACE=∠BCF，
∴△CAE∽△CBF；
②∵△CAE∽△CBF，
∴∠CBF=∠CAE，$\frac{AE}{BF}$=$\sqrt{2}$，
∵AE=2，
∴BF=$\sqrt{2}$，
∵∠CAE+∠CBE=90°，
∴∠CBF+∠CBE=90°，
在Rt△EBF中，EF=$\sqrt{B{E}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵四边形EFCG为正方形，
∴CE=$\sqrt{2}$EF=$\sqrt{6}$；
（3）连接BF，

∵$\frac{AB}{BC}$=$\frac{EF}{FC}$，∠ABC=∠EFC=90°，
∴Rt△ABC∽Rt△CEF，
∴$\frac{CA}{CB}$=$\frac{CE}{CF}$，
又∠ACB=∠ECF，
∴∠ACE=∠BCF，
∴△ACE∽△BCF，
∴$\frac{AE}{BF}$=$\frac{AC}{BC}$=$\sqrt{{k}^{2}+1}$，
∵AE=2，
∴BF=$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∵∠EBF=90°，
∴EF²=BE²+BF²=1+$\frac{4}{{k}^{2}+1}$，
∵CE=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$EF，
∴CE²=（1+$\frac{1}{{k}^{2}}$）（1+$\frac{4}{{k}^{2}+1}$）=9，解得k=$\frac{\sqrt{10}}{4}$或k=-$\frac{\sqrt{10}}{4}$（不合题意，舍去），
故答案为：$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

点评 本题为四边形的综合应用，涉及正方形、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、方程思想等知识．在（1）中利用正方形的性质找到三角形相似的条件是解题的关键，在（2）中连接BF，把问题转化成（1）的形式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．