Question

8．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M=∠D．
（1）判断BC、MD的位置关系，并说明理由；
（2）若AE=16，BE=4，求线段CD的长．

Answer 1

分析 （1）根据在同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，相等的弧所对的圆周角相等，可以判断出BC、MD的位置关系；
（2）根据垂径定理和AE=16，BE=4，可以得到AB和OE的长度，然后根据勾股定理可以求得CE的长度，进而求得CD的长度．

解答 解：（1）BC、MD的位置关系是平行，
理由：∵∠M=∠D，
∴$\widehat{BD}=\widehat{MC}$，
∴∠M=∠MBC，
∴BC∥MD；
（2）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE=16，BE=4，
∴∠OEC=90°，EC=ED，AB=AE+BE=20，
∴OC=10，OE=OB-BE=6，
∴CE=$\sqrt{O{C}^{2}-O{E}^{2}}=8$，
∴CD=2CE=16，
即线段CD的长是16．

点评 本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理，解题此类问题的关键是明确题意，根据所要证明或求解的问题找出相应的条件，利用圆周角定理、垂径定理和勾股定理的相关知识解答．