Question

4．如图1，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα=$\frac{角α的邻边}{角α的对边}$=$\frac{AC}{BC}$，根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）如图1，若BC=3，AB=5，则ctanB=$\frac{3}{4}$；  
（2）ctan60°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（3）如图2，已知：△ABC中，∠B是锐角，ctan C=2，AB=10，BC=20，试求∠B的余弦cosB的值．

Answer 1

分析 （1）先利用勾股定理计算出AC=4，然后根据余切的定义求解；
（2）根据余切的定义得到ctan60°=$\frac{1}{tan60°}$，然后把tan60°=$\sqrt{3}$代入计算即可；
（3）作AH⊥BC于H，如图2，先在Rt△ACH中利用余切的定义得到ctanC=$\frac{HC}{AH}$=2，则可设AH=x，CH=2x，BH=BC-CH=20-2x，接着再在Rt△ABH中利用勾股定理得到（20-2x）²+x²=10²，解得x₁=6，x₂=10（舍去），所以BH=8，然后根据余弦的定义求解．

解答 解：（1）∵BC=3，AB=5，
∴AC=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴ctanB=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{4}$；
（2）ctan60°=$\frac{1}{tan60°}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（3）作AH⊥BC于H，如图2，
在Rt△ACH中，ctanC=$\frac{HC}{AH}$=2，
设AH=x，则CH=2x，
∴BH=BC-CH=20-2x，
在Rt△ABH中，∵BH²+AH²=AB²，
∴（20-2x）²+x²=10²，解得x₁=6，x₂=10（舍去），
∴BH=20-2×6=8，
∴cosB=$\frac{BH}{AB}$=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．