Question

6．如图，AB=AC，AD=AE，M为BE中点，∠BAC=∠DAE=90°，求证：AM=$\frac{1}{2}$DC，AM⊥DC．

Answer 1

分析 延长AM到F，使MF=AM，交CD于点N，构造平行四边形，利用条件证明△ABF≌△CAD，可得出∠BAF=∠ACD，AF=DC，得出AM=$\frac{1}{2}$DC，再结合条件可得到∠ANC=90°，可证得AM⊥DC．

解答 证明：延长AM到F，使MF=AM，交CD于点N，如图所示：
∵BM=EM，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴BF=AE，∠ABF+∠BAE=180°，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠CAD+∠BAE=180°，
∴∠ABF=∠CAD，
∵BF=AE，AD=AE，
∴BF=AD，
在△ABF和△CAD中，$\left\{\begin{array}{l}{BF=AD}&{\;}\\{∠ABF=∠CAD}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CAD（SAS），
∴∠BAF=∠ACD，AF=DC，
∵AM=$\frac{1}{2}$AF，
∴AM=$\frac{1}{2}$DC，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAF+∠CAN=90°，
∴∠ACD+∠CAN=90°，
∴∠ANC=90°，
∴AM⊥CD．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，通过辅助线构造平行四边形证明三角形全等得到∠BAF=∠ACD，AF=DC是解题的关键．