Question

8．我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”
（1）已知：四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A=70°，∠B=80°，求∠C、∠D的度数
；
（2）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，CD为斜边AB上的中线，过点D作DE⊥CD交AC于点E，求证：四边形BCED是“等对角四边形”．

Answer 1

分析 （1）根据“等对角四边形”的定义，当四边形ABCD是“等对角四边形”时，可分两种情况进行讨论：①若∠A=∠C，∠B≠∠D，则∠C=70°，再利用四边形内角和定理求出∠D；②若∠B=∠D，∠A≠∠C，则∠D=80°，再利用四边形内角和定理求出∠C；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD=DB=DC，由等边对等角得出∠DCB=∠B，再由∠B+∠ACD=∠DCB+∠ACD=90°，∠CED+∠ACD=90°，利用同角的余角相等得出∠CED=∠B，又∠ECB≠∠EDB，根据“等对角四边形”的定义，即可证明四边形BCED是“等对角四边形”．

解答 （1）解：①若∠A=∠C，∠B≠∠D，
则∠C=70°，∠D=360°-70°-70°-80°=140°；
②若∠B=∠D，∠A≠∠C，
则∠D=80°，∠C=360°-80°-80°-70°=130°；

（2）证明：在Rt△ABC中，
∵CD为斜边AB边上的中线，
∴AD=DB=DC，
∴∠DCB=∠B，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠ACD=90°，
∴∠B+∠ACD=90°．
∵DE⊥CD，
∴∠CED+∠ACD=90°，
∴∠CED=∠B，
且∠ECB≠∠EDB，
∴四边形BCED是“等对角四边形”．

点评 本题主要考查了四边形内角和定理，直角三角形、等腰三角形的性质，余角的性质，理解“等对角四边形”的定义并且利用分类讨论思想是解题的关键．