Question

20．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，∠ACD的平分线交BD、AD于点E、F，若正方形的边长为1，则AF=2-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作垂线段FG，根据角平分线的性质得：FG=DF，设AF=x，则FG=DF=1-x，在Rt△AGF中，由勾股定理列方程可得结论．

解答 解：过F作FG⊥AC于G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，
∵CE平分∠ACD，
∴FG=DF，
∵CF=CF，
∴Rt△GFC≌Rt△DFC（HL），
∴CG=DC=1，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC=$\sqrt{2}$，
∴AG=$\sqrt{2}$-1，
设AF=x，则FG=DF=1-x，
在Rt△AGF中，由勾股定理得：AF²=AG²+GF²，
∴x²=（$\sqrt{2}$-1）²+（1-x）²，
x=2-$\sqrt{2}$，
即AF=2-$\sqrt{2}$，
故答案为：2-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，直角三角形全等的性质和判定、勾股定理，熟记各性质与定理是解题的关键．