Question

如图所示：O为坐标原点，点A坐标是（3，1）．线段OA绕原点O逆时针旋转90°后得到点B．
（1）在图中的平面直角坐标系中画出线段OB，并写出点B的坐标．
（2）若点C是平面直角坐标系内一点，且四边形OACB是正方形，求直线AC的解析式．
（3）已知点M是x轴上一点，求AM+BM的最小值及取得最小值时M的坐标．

Answer 1

考点：作图-旋转变换,待定系数法求一次函数解析式,轴对称-最短路线问题

专题：作图题

分析：（1）根据网格结构找出点B的位置，然后连接OB即可，再根据平面直角坐标系写出点B的坐标即可；
（2）根据正方形的性质找出点C的位置，再利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（3）找出点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，根据轴对称确定最短路线问题，A′B与x轴的交点即为点M，然后根据图象写出点M的坐标，利用勾股定理列式求出AM+BM的最小值．

解答：解：（1）线段OB如图所示，B（-1，3）；

（2）点C如图所示，
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵函数图象经过点（3，1），（2，4），
∴

3k+b=1 2k+b=4

，
解得

k=-3 b=10

．
所以直线AC的解析式为y=-3x+10；

（3）点M的位置如图所示，AM+BM的最小值=

42+42

=4

2

，
点M（2，0）．

点评：本题考查了利用旋转变换作图，主要利用了正方形的性质，待定系数法求一次函数解析式，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．