Question

k为何值时，方程组

y=kx+2    ① y2-4x-2y+1=0   ②

（1）有一个实数解，并求出此解；
（2）有两个实数解；
（3）没有实数解．

Answer 1

考点：高次方程

专题：计算题

分析：先利用代入消元法得到k²x²+2（k-2）x+1=0，
（1）分类讨论：当k=0，易得y=2，且方程化为一次方程，解得x=

1

4

，于是得到原方程组的一组解；当k≠0，方程为一元二次方程，若△=4（k-2）²-4k²=0，方程有两个相等的实数解，而对于方程组来说，只有一组实数解，然后计算出k=1，再分别求出x和y的值，得到原方程组的一组解；
（2）当k²x²+2（k-2）x+1=0有两个不相等的实数解时，方程组有两组实数解，则k≠0，△=4（k-2）²-4k²＞0，然后求出k的范围；
（3）当k²x²+2（k-2）x+1=0没有实数解时，方程组没有实数解，则k≠0，△=4（k-2）²-4k²＜0，然后求出k的范围．

解答：解：把①代入②得（kx+2）²-4x-2（kx+2）+1=0，
整理得k²x²+2（k-2）x+1=0，
（1）当k=0，则-4x+1=0，解得x=

1

4

，
方程组的解为

x= 1 4 y=2

；
当k≠0，△=4（k-2）²-4k²=0，解得k=1，
方程化为x²-2x+1=0，解得x₁=x₂=1，
所以y=1+2=3，
所以方程组的解为

x=1 y=3

；
（2）当k≠0，△=4（k-2）²-4k²＞0，解得k＜1，
所以当k＜1且k≠0时，方程组有两个实数解；
（3）当k≠0，△=4（k-2）²-4k²＜0，解得k＞1，
所以当k＞1时，方程组没有实数解．

点评：本题考查了高次方程：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程．高次方程的解法思想：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．