Question

11．如图，已知在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB，延长AD、BC相交于点E．
（1）求证：△ACE∽△BDE；
（2）已知DE=4，CD=3，BE=8，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）根据邻补角的定义得到∠BDE=∠ACE，又因为又∠E=∠E，所以可证明△ECA∽△EDB
（2）由相似三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：∵∠ADB=∠ACB，
∴∠EDB=∠ECA．
又∠E=∠E，
∴△ECA∽△EDB，

（2）解：∵△ECA∽△EDB
∴$\frac{DE}{EC}$=$\frac{BE}{AE}$，
∴$\frac{DE}{BE}$=$\frac{EC}{AE}$，∵∠E=∠E，
∴△ECD∽△EAB，
∴$\frac{CD}{AB}$=$\frac{ED}{BE}$，
∴$\frac{3}{AB}$=$\frac{4}{8}$，
∴AB=6．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，邻补角的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．