Question

6．如图，点P（4，1）在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上．
（1）则k的值为4；
（2）若正方形ABCD的顶点B，C在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，顶点A，D分别在x轴和y轴的正半轴上，求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）将点P的坐标代入双曲线解析式中解答即可；
（2）过点B作BE⊥OA于点E，过点C作CF⊥OD于点F，易证得：△DOA≌△AEB≌△CFD，易得B（a+b，a），C（b，a+b），继而求得a的值，则可求得点C的坐标．

解答 解：（1）点P（4，1）在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，
将x=4，y=1代入解析式可得：
k=4；
故答案为：4；

（2）过点B作BE⊥OA于点E，过点C作CF⊥OD于点F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC，∠CDA=90°，
∴∠FDC+∠ODA=90°，
∵∠CFD=∠DOA=90°，
∴∠FCD+∠FDC=90°，
∴∠FDC=∠OAD，
在△CFD和△AOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CFD=∠DOA}\\{∠FDC=∠OAD}\\{DC=AD}\end{array}\right.$，
∴△CFD≌△AOD（AAS），
同理可得：△DOA≌△AEB≌△CFD，
∴CF=OD=AE=b，DF=OA=BE=a，
设A（a，0），D（0，b），
则B（a+b，a），C（b，a+b），
可得：b（a+b）=4，a（a+b）=4，
解得：a=b=$\sqrt{2}$．
所以点C的坐标为：（$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）．

点评 此题属于反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，综合性很强，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．