Question

16．某单位有一块四边形的空地，∠B=90°，量得各边的长度AB=3米，BC=4米，CD=12米，AD=13米，现计划在空地内种草．
（1）连接AC，证明△ACD是直角三角形；
（2）若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？

Answer 1

分析 （1）连接AC，在直角三角形ABC中可求得AC的长，由AC、AD、CD的长度关系由勾股定理的逆定理可得△ACD是直角三角形；
（2）四边形ABCD的面积=Rt△ABC的面积+Rt△ACD的面积，再把求出的面积乘以30即可求解．

解答 （1）证明：连接AC，
在Rt△ABC中，AC²=AB²+BC²=3²+4²=5²，
AC=5，
在△ACD中，CD²=12²，AD²=13²，
而12²+5²=13²，
即CD²+AC²=AD²，
∴∠ACD=90°，
∴△ACD是直角三角形；

（2）解：S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=$\frac{1}{2}$AB•BC+$\frac{1}{2}$CD•AC=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{1}{2}$×12×5=36（平方米），
所以需费用36×30=1080（元）．
故这块地全部种草的费用是1080元．

点评 本题考查了勾股定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单．