Question

8．如图，已知DE⊥AB垂足为E，DF⊥AC垂足为F，BD=CD，BE=CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）丁丁同学观察图形后得出结论：AB+AC=2AE，请你帮他写出证明过程．

Answer 1

分析 （1）根据HL定理求出Rt△BED≌Rt△CFD，根据全等三角形的性质得出DE=DF，根据角平分线性质得出即可；
（2）证Rt△AED≌Rt△AFD，根据全等得出AE=AF，即可求出答案．

解答 证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE=DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠EAD=∠CAD，
∴AD平分∠BAC；

（2）∵∠E=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∵BE=CF，
∴AB+AC=AE-BE+AF+CF=AE-CF+AE+CF=2AE．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，能正确根据全等三角形的判定和性质定理进行推理是解此题的关键．