已知抛物线y=a(x-1)2+4与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C.点D为抛物线的顶点.已知CD=$\sqrt{2}$．(1)求抛物线的解析式,(2)若点P为线段BC上一点.过点P作PM∥y轴.交抛物线于点M.交x轴于点N.当△BCM的面积最大时.求N点的坐标,中的抛物线向上平移m个单位.与直线CD交于G.H两点.设平移后的抛物线的顶点为E.是否存在实数m.使得GH⊥EH?若存在.请求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．已知抛物线y=a（x-1）²+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，已知CD=$\sqrt{2}$．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为线段BC上一点（不与B、C重合），过点P作PM∥y轴，交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求N点的坐标；
（3）将（1）中的抛物线向上平移m（m＞0）个单位，与直线CD交于G、H两点，设平移后的抛物线的顶点为E，是否存在实数m，使得GH⊥EH？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）可根据解析式直接得出顶点D的坐标，又可根据CD的长得出C的坐标，代入解析式中即可得出a的值，即得抛物线的解析式；
（2）设P（x，-x+3），则M（x，-x²+2x+3），利用S_△BCM=S_△PMC+S_△PMB，进而求出二次函数最值；
（3）首先得出△DHE为等腰直角三角形，进而利用点H在抛物线：y=-（x-1）²+4+m上，得出4+$\frac{1}{2}$m=-（1+$\frac{1}{2}$m-1）²+4+m，即可得出答案．

解答解：（1）如图1，过点D作DM⊥x轴于点M，过点C作CE⊥DM于点E，
∵y=a（x-1）²+4，
∴可得其顶点D坐标为（1，4），C（0，a+4），
∴CE=1，由勾股定理得：DE=1，
DE=DM-EM=4-（a+4）=1，
∴a=-1
∴抛物线的解析式：y=-x²+2x+3；

（2）如图2，设P（x，-x+3），则M（x，-x²+2x+3），
∴PM=（-x²+2x+3）-（-x+3）=-x²+3x，
∴S_△BCM=S_△PMC+S_△PMB=$\frac{1}{2}$PM•NO+$\frac{1}{2}$PM•NB=$\frac{1}{2}$PM（NO+BN）=$\frac{1}{2}$PM•BO=$\frac{3}{2}$PM，
∴S_△BCM=$\frac{3}{2}$（-x²+3x）=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∴当x=$\frac{3}{2}$时，△BCM的面积最大，
∴N（$\frac{3}{2}$，0）；

解法2：如图2，因为BC长为定值，所以BC上高要最大，将BC平移至与抛物线相切时高最大
BC的解析式y=-x+3，设ME的解析式y=-x+b
代入y=-x²+2x+3得x²-3x+b-3=0，
∴△=b²-4ac=9-4（b-3）=0，
解得：b=$\frac{21}{4}$，
当b=$\frac{21}{4}$时，代入x²-3x+b-3=0得唯一交点横坐标为：$\frac{3}{2}$，
∴N（$\frac{3}{2}$，0）；

（3）如图3，作抛物线的对称轴EP，CN⊥EP于N，HM⊥EP于M，由（1）中得△DNC为等腰直角三角形，
∴△DHE也为等腰直角三角形，
∴EM=DM=HM=$\frac{1}{2}$m，
∴H（1+$\frac{1}{2}$m，4+$\frac{1}{2}$m ），
∵点H在抛物线：y=-（x-1）²+4+m上，
∴4+$\frac{1}{2}$m=-（1+$\frac{1}{2}$m-1）²+4+m，
∴$\frac{1}{4}$m²=$\frac{1}{2}$m，
∴m=2或m=0（舍去）
∴m的值为：m=2．