Question

2．如图，反比例函数y=$\frac{{k}_{1}}{x}$的图象与一次函数y=k₂x+b的图象交于点P（m，-1）和Q（1，2）两点，记一次函数与坐标轴的交点分别为A，B，连接OP，OQ．
（1）求两函数的解析式；
（2）求证：△POB≌△QOA．

Answer 1

分析 （1）将已知的点Q的坐标代入反比例函数，求得比例系数k₁的值，得到反比例函数解析式；再将点P的坐标代入反比例函数，求得m的值，最后将点P和点Q的坐标代入一次函数，求得k₂和b的值，得到一次函数解析式；
（2）先根据一次函数求得直线与与坐标轴的交点A、B的坐标，进而根据OA和OB的长相等，得到∠QAO=∠PBO；再根据点P、Q的坐标，求得OP与OQ的长，根据OP与OQ的长相等，得到∠BPO=∠AQO，最后根据AAS得到△POB≌△QOA．

解答 解：（1）将Q（1，2）代入反比例函数$y=\frac{{k}_{1}}{x}$，得k₁=2
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{2}{x}$
将P（m，-1）代入反比例函数$y=\frac{2}{x}$，得m=-2
∴P（-2，-1）
将P（-2，-1）和Q（1，2）代入一次函数y=k₂x+b，得
$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}+b=2}\\{-2{k}_{2}+b=-1}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=1}\\{b=1}\end{array}\right.$
∴该一次函数的解析式为y=x+1
（2）∵y=x+1，当x=0时，y=1；当y=0时，x=-1
∴A（-1，0），B（0，1）
∴OA=OB
∴∠QAO=∠PBO
∵OP=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，OQ=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$
∴OP=OQ
∴∠BPO=∠AQO
∴△POB≌△QOA（AAS）

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及全等三角形的判定，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．当有两个函数的时候，着重使用两函数的交点坐标以及直线与坐标轴的交点坐标，体现了数形结合思想，综合性较强．本题也可以运用SSS判定两个三角形全等．