Question

7．如图，一次函数与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象在第一象限交于A、B两点，交x轴于点C，交y轴于点D，且$\frac{CB}{BA}$=$\frac{1}{2}$，点E在线段OA上一点，OE=3EA，若△AEB的面积为1，则k的值是3．

Answer 1

分析 过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，根据OE=3EA，S_△AEB=1可得出S_△AOB=4，设出点A、B的坐标，利用梯形的面积公式找出S_梯形AMNB的值，通过分割图形找出S_梯形AMNB=S_△AOB，从而得出$\frac{{n}^{2}-{m}^{2}}{mn}k$=8①，再结合AM⊥x轴，BN⊥x轴得出AM∥BN，从而得出$\frac{BC}{AC}=\frac{BC}{BC+AB}$=$\frac{BN}{AM}$，由$\frac{CB}{BA}$=$\frac{1}{2}$即可得出n=3m②，联立①②成方程组，解方程即可得出结论．

解答 解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，如图所示．

∵OE=3EA，S_△AEB=1，
∴S_△AOB=（3+1）S_△AEB=4．
设点A的坐标为（m，$\frac{k}{m}$）、点B的坐标为（n，$\frac{k}{n}$），
则AM=$\frac{k}{m}$，BN=$\frac{k}{n}$，MN=n-m．
S_梯形AMNB=$\frac{1}{2}$（AM+BN）•MN=$\frac{1}{2}$（$\frac{k}{m}$+$\frac{k}{n}$）（n-m）=S_△AOB=4，
即$\frac{{n}^{2}-{m}^{2}}{mn}k$=8①；
∵AM⊥x轴，BN⊥x轴，
∴AM∥BN，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{BC}{BC+AB}$=$\frac{BN}{AM}$．
∵$\frac{CB}{BA}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BN}{AM}$=$\frac{\frac{k}{n}}{\frac{k}{m}}$=$\frac{1}{3}$，
∴n=3m②．
联立①②得：$\left\{\begin{array}{l}{n=3m}\\{\frac{{n}^{2}-{m}^{2}}{mn}k=8}\end{array}\right.$，解得：k=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、三角形的面积公式、梯形的面积公式以及解三元二次方程组，解题的关键是找出关于m、n、k的方程组．本题属于中档题，难度不大，但稍显繁琐，本题巧妙的利用分割图形求面积法找出梯形的面积，再结合比例关系以及梯形的面积公式得出方程组是关键．