Question

11．【结论】已知两条直线l₁：y=k₁x+b₁，l₂：y=k₂x+b₂，若l₁⊥l₂，则有k₁•k₂=-1，反之也成立．
【应用】（1）已知y=3x+1与y=kx-1垂直，求k的值；
（2）已知直线m经过点A（2，3），且与y=$-\frac{1}{2}$x+3垂直，求直线m的解析式．
【探究】（3）在同一直角坐标系上，给定4个点A（1，3）、B（-3，0）、C（0，-4）和D（4，-1），任意连接其中两点能得到多少条不同的直线？这些直线中共有多少组互相垂直关系？并选择其中一组互相垂直关系进行证明．

Answer 1

分析 （1）根据若l₁⊥l₂，则有k₁•k₂=-1，即可求出k的值．
（2）先求出直线m的一次项系数，然后将（2，3）代入一次函数解析式即可求出m的值．
（3）根据四个点的坐标作出简图后进行判断，然后根据l₁⊥l₂，则有k₁•k₂=-1，即可进行证明．

解答 解：（1）∵l₁⊥l₂，则k₁•k₂=-1，
∴3k=-1，∴k=$-\frac{1}{3}$；
（2）∵过点A直线与y=$-\frac{1}{2}$x+3垂直，
∴设过点A直线的直线解析式为y=2x+b，
把A（2，3）代入得，b=-1，
∴解析式为y=2x-1．
（3）连接其中任意两点能得到6条直线，
这些直线中共有5组互相垂直关系，（它们分别是：AB⊥BC，BC⊥CD，CD⊥DA，DA⊥AB和AC⊥BD）．
设直线BC为：y=k₁x-4，将B（-3，0）代入得：0=-3k₁-4
解得：${k_1}=-\frac{4}{3}$；
设直线CD为：y=k₂x-4，将D（4，-1）代入得：-1=4k₂-4
解得：${k_2}=\frac{3}{4}$；
∵${k_1}•{k_2}=-\frac{4}{3}×\frac{3}{4}=-1$，
∴BC⊥CD．

点评 本题考查一次函数的解析式，解题的关键是正确理解：若l₁⊥l₂，则有k₁•k₂=-1，本题考查学生的阅读理解能力，属于中等题型．