题目内容
如图1，若点A、B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小，做法是：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．
（1）如图2，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．做法是：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 ；
（2）如图3，已知⊙O的直径CD为2，
的度数为60°，点B是
的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为 ；
（3）如图4，点P是四边形ABCD内一点，BP=m，∠ABC=α，分别在边AB、BC上作出点M、N，使△PMN的周长最小，求出这个最小值（用含m、α的代数式表示）．
（1）如图2，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．做法是：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为
（2）如图3，已知⊙O的直径CD为2，
 |
| AC |
|
| AC |
（3）如图4，点P是四边形ABCD内一点，BP=m，∠ABC=α，分别在边AB、BC上作出点M、N，使△PMN的周长最小，求出这个最小值（用含m、α的代数式表示）．
考点：圆的综合题,等腰三角形的性质,勾股定理,圆心角、弧、弦的关系,轴对称-最短路线问题,锐角三角函数的定义
专题：综合题
分析：（1）如图2，只需利用等边三角形的性质及勾股定理就可求出CE的长．
（2）过点B作直径CD的对称点B′，由圆的对称性可知：点B′必在⊙O上．连接AB′，与CD的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．连接PB、OA、OB′，如图3，根据条件可求出
的度数为90°，从而得到∠AOB′的度数也为90°，然后运用勾股定理求出AB′的长，就可解决问题．
（3）分别作点P关于边AB、BC的对称点E、F，连接EF，分别与边AB、BC交于点M、N，连接PM、PN，如图4，则线段EF的长度即为△PMN的周长的最小值．连接BE、BF，过B作BH⊥EF于H．由对称性可得：BE=BF=BP=m，∠EBF=2∠ABC=2α．根据等腰三角形的性质可得：∠EBH=
∠EBF=α，EH=FH．然后在Rt△BEH中运用三角函数就可求出EH，进而求出EF，就可解决问题．
（2）过点B作直径CD的对称点B′，由圆的对称性可知：点B′必在⊙O上．连接AB′，与CD的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．连接PB、OA、OB′，如图3，根据条件可求出
|
| AB′ |
（3）分别作点P关于边AB、BC的对称点E、F，连接EF，分别与边AB、BC交于点M、N，连接PM、PN，如图4，则线段EF的长度即为△PMN的周长的最小值．连接BE、BF，过B作BH⊥EF于H．由对称性可得：BE=BF=BP=m，∠EBF=2∠ABC=2α．根据等腰三角形的性质可得：∠EBH=
| 1 |
| 2 |
解答：解：（1）如图2，
∵△ABC是等边三角形，点E为AB中点，AB=2，
∴AC=AB=2，AE=
AB=1，CE⊥AB．
∴CE=
=
．
故答案为：
．
（2）过点B作直径CD的对称点B′，由圆的对称性可知：点B′必在⊙O上．
连接AB′，与CD的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．
连接PB、OA、OB′，如图3，
∵点B与点B′关于CD的对称，
∴
=
．
∵点B是
的中点，
的度数为60°，
∴
的度数为30°．
∴
的度数为30°．
∴
的度数为90°．
∴∠AOB′=90°．
∵OA=OB′=
CD=
×2=1，
∴AB′=
．
故答案为：
．
（3）分别作点P关于边AB、BC的对称点E、F，连接EF，分别与边AB、BC交于点M、N，连接PM、PN，如图4，
则线段EF的长度即为△PMN的周长的最小值．
连接BE、BF，过B作BH⊥EF于H．
∵点E与点P关于AB对称，点F与点P关于BC对称，
∴∠EBA=∠PBA，∠FBC=∠PBC，BE=BF=BP=m．
∴∠EBF=2∠ABC=2α．
∵BE=BF，BH⊥EF，
∴∠EBH=
∠EBF=α，EH=FH．
在Rt△BEH中，
∵sinα=
，
∴EH=BE•sinα=m•sinα．
∴EF=2m•sinα．
∴△PMN周长的最小值为2m•sinα．
∵△ABC是等边三角形，点E为AB中点，AB=2，
∴AC=AB=2，AE=
| 1 |
| 2 |
∴CE=
| AC2-AE2 |
| 3 |
故答案为：
| 3 |
（2）过点B作直径CD的对称点B′，由圆的对称性可知：点B′必在⊙O上．
连接AB′，与CD的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．
连接PB、OA、OB′，如图3，
∵点B与点B′关于CD的对称，
∴
|
| CB′ |
|
| CB |
∵点B是
|
| AC |
|
| AC |
∴
|
| BC |
∴
|
| CB′ |
∴
|
| AB′ |
∴∠AOB′=90°．
∵OA=OB′=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴AB′=
| 2 |
故答案为：
| 2 |
（3）分别作点P关于边AB、BC的对称点E、F，连接EF，分别与边AB、BC交于点M、N，连接PM、PN，如图4，
则线段EF的长度即为△PMN的周长的最小值．
连接BE、BF，过B作BH⊥EF于H．
∵点E与点P关于AB对称，点F与点P关于BC对称，
∴∠EBA=∠PBA，∠FBC=∠PBC，BE=BF=BP=m．
∴∠EBF=2∠ABC=2α．
∵BE=BF，BH⊥EF，
∴∠EBH=
| 1 |
| 2 |
在Rt△BEH中，
∵sinα=
| EH |
| EB |
∴EH=BE•sinα=m•sinα．
∴EF=2m•sinα．
∴△PMN周长的最小值为2m•sinα．
点评：本题考查了轴对称-最短路线问题、圆弧与所对圆心角的度数关系、三角函数的定义、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，考查了知识的迁移能力，是一道好题．
练习册系列答案
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