题目内容
已知：如图，等腰△ABC中AB=AC，高AD、BE交于点H，求证：4DH•DA=BC2．考点：相似三角形的判定与性质,等腰三角形的性质
专题：证明题
分析：证明△ABD∽△BHD，则对应边的比相等，然后根据三线合一定理即可证得．
解答：证明：∵AB=AC，AD是高，
∴BD=BC=
BC，∠BAD=∠CAD，
又∵直角△AHE和直角△BDH中，∠ADB=∠AEB=90°，∠BHD=∠AHE，
∴∠BDH=∠DAC，
∴∠BDH=∠BAD，
又∵∠BDH=∠BDH，
∴△ABD∽△BHD，
∴
=
，
∴BD2=DH•DA，
又∵BD=
BC，
∴4DH•DA=BC2．
∴BD=BC=
| 1 |
| 2 |
又∵直角△AHE和直角△BDH中，∠ADB=∠AEB=90°，∠BHD=∠AHE，
∴∠BDH=∠DAC，
∴∠BDH=∠BAD，
又∵∠BDH=∠BDH，
∴△ABD∽△BHD，
∴
| BD |
| DH |
| AD |
| BD |
∴BD2=DH•DA，
又∵BD=
| 1 |
| 2 |
∴4DH•DA=BC2．
点评：本题考查了等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，证明△ABD∽△BHD是关键．
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如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（ ）| A、△ABC三条中线的交点 |
| B、△ABC三边的垂直平分线的交点 |
| C、△ABC三条角平分线的交点 |
| D、△ABC三条高所在直线的交点 |
