Question

16．已知边长为4的正方形ABCD，点E、F分别在CA、AC的延长线上，且∠BED=∠BFD=45°，那么四边形EBFD的面积是16+16$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 连接BD交AC于O，首先证明四边形EBFD是菱形，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可解决问题．

解答 解：如图连接BD交AC于O．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，∠CAD=∠CAB=45°，
∴∠EAD=∠EAB=135°，
在△EAB和△EAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{EA=EA}\\{∠EAB=∠EAD}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△EAB≌△EAD，
∴∠AEB=∠AED=22.5°，EB=ED，
∴∠ADE=180°-∠EAD-∠AED=22.5°，
∴∠AED=∠ADE=22.5°，
∴AE=AD=4，
同理证明∠DFC=22.5°，FD=FB，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DE=DF，
∴ED=EB=FB=FD，
∴四边形EBFD的面积=$\frac{1}{2}$•BD•EF=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$（（4$\sqrt{2}$+8）=16+16$\sqrt{2}$．
故答案为16+16$\sqrt{2}$．

点评 本题考查菱形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是发现四边形EBFD是菱形，记住菱形的面积等于对角线乘积的一半．属于中考常考题型．