Question

1．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，OC=1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的$\frac{3}{2}$倍，得到矩形A₁OC₁B₁，再将矩形A₁OC₁B₁以原点O为位似中心放大$\frac{3}{2}$倍，得到矩形A₂OC₂B₂…，以此类推，得到的矩形A_nOC_nB_n的对角线交点的坐标为（-$\frac{{3}^{n}}{{2}^{n}}$，$\frac{{3}^{n}}{{2}^{n+1}}$）．

Answer 1

分析 根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，即可求得B_n的坐标，然后根据矩形的性质即可求得对角线交点的坐标．

解答 解：∵在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的$\frac{3}{2}$倍，
∴矩形A₁OC₁B₁与矩形AOCB是位似图形，点B与点B₁是对应点，
∵OA=2，OC=1．
∵点B的坐标为（-2，1），
∴点B₁的坐标为（-2×$\frac{3}{2}$，1×$\frac{3}{2}$），
∵将矩形A₁OC₁B₁以原点O为位似中心放大$\frac{3}{2}$倍，得到矩形A₂OC₂B₂…，
∴B₂（-2×$\frac{3}{2}$×$\frac{3}{2}$，1×$\frac{3}{2}$×$\frac{3}{2}$），
∴B_n（-2×$\frac{{3}^{n}}{{2}^{n}}$，1×$\frac{{3}^{n}}{{2}^{n}}$），
∵矩形A_nOC_nB_n的对角线交点（-2×$\frac{{3}^{n}}{{2}^{n}}$×$\frac{1}{2}$，1×$\frac{{3}^{n}}{{2}^{n}}$×$\frac{1}{2}$），即（-$\frac{{3}^{n}}{{2}^{n}}$，$\frac{{3}^{n}}{{2}^{n+1}}$），
故答案为：（-$\frac{{3}^{n}}{{2}^{n}}$，$\frac{{3}^{n}}{{2}^{n+1}}$）．

点评 本题考查的是矩形的性质、位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．