题目内容

5．如图①，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），且AB=$4\sqrt{3}$，在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°．
（1）求AP的长；
（2）求证：点P在∠MON的平分线上；
（3）如图②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP．当AB⊥OP时，请直接写出四边形CDEF周长的值．

分析 （1）过点P作PQ⊥AB于点Q．根据等腰三角形的“三线合一”的性质推知AQ=BQ=$\frac{1}{2}$AB，然后在直角三角形中利用特殊角的三角函数的定义可以求得AP的长度；
（2）作辅助线PS、PT（过点P分别作PS⊥OM于点S，PT⊥ON于点T）构建全等三角形△APS≌△BPT；然后根据全等三角形的性质推知PS=PT；最后由角平分线的性质推知点P在∠MON的平分线上；
（3）利用三角形中位线定理知四边形CDEF的周长的值是OP+AB，当AB⊥OP时，根据直角三角形中锐角三角函数的定义可以求得OP的长度．

解答 （1）解：过点P作PQ⊥AB于点Q．
∵PA=PB，∠APB=120°，AB=4$\sqrt{3}$
∴AQ=BQ=2$\sqrt{3}$，∠APQ=60°（等腰三角形的“三线合一”的性质），
在Rt△APQ中，sin∠APQ=$\frac{AQ}{AP}$
∴AP=$\frac{2\sqrt{3}}{sin60°}$=4；

（2）证明：过点P分别作PS⊥OM于点S，PT⊥ON于点T．
∴∠OSP=∠OTP=90°（垂直的定义）； 
在四边形OSPT中，∠SPT=360°-∠OSP-∠SOB-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°，
∴∠APB=∠SPT=120°，
∴∠APS=∠BPT，
在△APS和△BPT中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ASP=∠BTP=90°}\\{∠APS=∠BPT}\\{AP=BP}\end{array}\right.$
∴△APS≌△BPT（AAS），
∴PS=PT（全等三角形的对应边相等）
∴点P在∠MON的平分线上；

（3）∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，OP⊥AB，
∴AQ=BQ=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，
∴OQ=$\frac{AQ}{tan30°}$=6，
同理：PQ=$\frac{AQ}{tan60°}$=2，
∴OP=8，
∵点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，
∴CD=EF=$\frac{1}{2}$AB，CF=DE=$\frac{1}{2}$OP，
∴四边形CDEF的周长为：8+4$\sqrt{3}$．

点评 本题综合考查了等腰三角形的性质、三角形中位线定理、解直角三角形以及全等三角形的判定与性质．解答该题时，利用了角平分线逆定理--到角两边的距离相等的点在角平分线上．

练习册系列答案
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经过调查，他们得到了如下36个数据：
B    C    B    A    D    A    C    D    B
C    B    C    D    C    D    C    E    C
C    A    B    E    A    D    E    C    B
C    B    C    E    D    E    D    D    C
（1）小明用表格整理了上面的调查数据，写出表格中m和n的值；
（2）小腾根据调查数据画出了如图2条形统计图，请你补全这个统计图；
（3）根据所调查的数据，你认为他们做的腊汁肉夹馍味道适中吗？适中．（填“适中”或者“不适中”）
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年人均各项消费支出统计表
年份
支出项目（单位：元）		2010年2012年2014年
食品支出a56006300
医疗、保健支出200022003000
家庭用品及服务支出330040005700
其他支出250042006000
根据以上信息解答下列问题：
（1）a=5200；并补全条形统计图；
（2）我们把“食品支出总额占个人消费支出总额的百分数”叫做恩格尔系数，请分别求出小明家2010，2012，2014年的恩格尔系数，并根据变化情况谈谈你的看法．
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（2）如图②，若DE=EC且BE⊥AF，求∠DAB的度数；
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