题目内容
5．如图①，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），且AB=$4\sqrt{3}$，在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°．（1）求AP的长；
（2）求证：点P在∠MON的平分线上；
（3）如图②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP．当AB⊥OP时，请直接写出四边形CDEF周长的值．
分析 （1）过点P作PQ⊥AB于点Q．根据等腰三角形的“三线合一”的性质推知AQ=BQ=$\frac{1}{2}$AB，然后在直角三角形中利用特殊角的三角函数的定义可以求得AP的长度；
（2）作辅助线PS、PT（过点P分别作PS⊥OM于点S，PT⊥ON于点T）构建全等三角形△APS≌△BPT；然后根据全等三角形的性质推知PS=PT；最后由角平分线的性质推知点P在∠MON的平分线上；
（3）利用三角形中位线定理知四边形CDEF的周长的值是OP+AB，当AB⊥OP时，根据直角三角形中锐角三角函数的定义可以求得OP的长度．
解答 （1）解：过点P作PQ⊥AB于点Q．
∵PA=PB，∠APB=120°，AB=4$\sqrt{3}$
∴AQ=BQ=2$\sqrt{3}$，∠APQ=60°（等腰三角形的“三线合一”的性质），
在Rt△APQ中，sin∠APQ=$\frac{AQ}{AP}$
∴AP=$\frac{2\sqrt{3}}{sin60°}$=4；
（2）证明：过点P分别作PS⊥OM于点S，PT⊥ON于点T．
∴∠OSP=∠OTP=90°（垂直的定义）；
在四边形OSPT中，∠SPT=360°-∠OSP-∠SOB-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°，
∴∠APB=∠SPT=120°，
∴∠APS=∠BPT，
在△APS和△BPT中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ASP=∠BTP=90°}\\{∠APS=∠BPT}\\{AP=BP}\end{array}\right.$
∴△APS≌△BPT（AAS），
∴PS=PT（全等三角形的对应边相等）
∴点P在∠MON的平分线上；
（3）∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，OP⊥AB，
∴AQ=BQ=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，
∴OQ=$\frac{AQ}{tan30°}$=6，
同理：PQ=$\frac{AQ}{tan60°}$=2，
∴OP=8，
∵点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，
∴CD=EF=$\frac{1}{2}$AB，CF=DE=$\frac{1}{2}$OP，
∴四边形CDEF的周长为：8+4$\sqrt{3}$．
点评 本题综合考查了等腰三角形的性质、三角形中位线定理、解直角三角形以及全等三角形的判定与性质．解答该题时，利用了角平分线逆定理--到角两边的距离相等的点在角平分线上．
如图，斜坡AC的坡比为1：$\sqrt{3}$，AC=10米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与点A有一条彩带相连，AB=14米，试求旗杆BC的高度．| A． |  | B． |  | C． |  | D． |  |
随着生活质量的提高，人们的消费水平逐年上升，小明把自己家2010，2012，2014年的消费数据绘制统计图表如下：年人均各项消费支出统计表
| 年份 支出项目（单位：元） | 2010年 | 2012年 | 2014年 |
| 食品支出 | a | 5600 | 6300 |
| 医疗、保健支出 | 2000 | 2200 | 3000 |
| 家庭用品及服务支出 | 3300 | 4000 | 5700 |
| 其他支出 | 2500 | 4200 | 6000 |
（1）a=5200；并补全条形统计图；
（2）我们把“食品支出总额占个人消费支出总额的百分数”叫做恩格尔系数，请分别求出小明家2010，2012，2014年的恩格尔系数，并根据变化情况谈谈你的看法．
如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是（ ）| A． | 10 | B． | 15 | C． | 20 | D． | 30 |
