Question

11．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD交⊙O于F，交BE于H，连DE，试探究DE与直径CG有无特殊的位置关系？

Answer 1

分析 结论：DE⊥CG．由△CAD∽△CBE，推出$\frac{CA}{CB}$=$\frac{CD}{CE}$，推出$\frac{CA}{CD}$=$\frac{CB}{CE}$，由∠ECD=∠BCA，推出△ECD∽△BCA，推出∠CED=∠ABC=∠G，由CG是直径，推出∠GAC=90°，推出∠G+∠ACG=90°，推出∠ACG+∠DEC=90°，即可证明∠EKC=90°．

解答 解：结论：DE⊥CG．
理由：如图，连接AG，DE交CG于K．

∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠AEB=∠BEC=∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠AHE=∠BHD，
∴∠CAD=∠CBE，
∴△CAD∽△CBE，
∴$\frac{CA}{CB}$=$\frac{CD}{CE}$，
∴$\frac{CA}{CD}$=$\frac{CB}{CE}$，∵∠ECD=∠BCA，
∴△ECD∽△BCA，
∴∠CED=∠ABC=∠G，
∵CG是直径，
∴∠GAC=90°，
∴∠G+∠ACG=90°，
∴∠ACG+∠DEC=90°，
∴∠EKC=90°，
∴DE⊥CG．

点评 本题考查三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．