Question

19．如图，AB是⊙O的直径，且AB=10，弦MN的长为8，若弦MN的两端在圆周上滑动，始终与AB相交．记点A，B到MN的距离为h₁，h₂．则|h₁-h₂|等于（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 设AB、NM交于H，做OD⊥MN于D，连接OM，利用垂径定理及勾股定理可求出OD，再推△AFH∽△ODH∽△BEH，然后就可利用OH表示BE、AF，从而可求出答案．

解答 解：设AB、NM交于H，做OD⊥MN于D，连接OM，
∵AB是⊙O的直径，且AB=10，弦MN的长为8，
∴DN=DM=4，OD=3，
∵BE⊥MN，AF⊥MN，OD⊥MN，
∴BE∥OD∥AF，
∴△AFH∽△ODH∽△BEH，
∴AF：OD=AF：3=（5-OH）：OH，
即$\frac{AF}{3}=\frac{5-OH}{OH}$，$\frac{BE}{OD}=\frac{HB}{OH}=\frac{5+OH}{OH}$，
即$\frac{BE}{3}=\frac{5+OH}{OH}$，
∴$\frac{1}{3}$（AF-BE）=-2，
∴|h₁-h₂|=|AF-BE|=6．
故选B．

点评 本题考查了垂径定理，解答本题需仔细分析图形，利用垂径定理和相似三角形的性质即可解决问题．对于一个圆和一条直线来说如果一条直线具备下列，①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个．