Question

1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F在边BC上，DE∥AB，AF∥DC，且AE∥DF．
（1）AD与BC有何数量关系？请说明理由；
（2）当四边形ABCD满足条件AB=DC时，四边形AEFD是矩形，请说明理由．
（3）当四边形ABCD满足条件∠B=∠C=45°时，四边形AEFD是正方形（只写结论，不需证明）．

Answer 1

分析 （1）感觉平行四边形的判定和性质即可得到结论；
（2）根据矩形的判定定理即可得到结论；
（3）根据正方形的判定定理即可得到结论．

解答 解：（1）AD=$\frac{1}{3}$BC，
理由：∵AD∥BC，DE∥AB，AF∥DC，AE∥DF，
∴四边形ABED，四边形AEFD，四边形AFCD是平行四边形，
∴AD=BE=EF=CF，
∴AD=$\frac{1}{3}$BC；

（2）当四边形ABCD满足条件AB=CD时，四边形AEFD是矩形，
理由：∵AB=CD，
∵四边形ABED，四边形AFCD是平行四边形，
∴AB=DE，AF=CD，
∴DE=AF，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴四边形AEFD是矩形；

（3）当四边形ABCD满足条件∠B=∠C=45°时，四边形AEFD是正方形，
理由：∵AF∥CD，
∴∠AFB=∠C=45°，
∴∠BAF=90°，
∴BA⊥AF，
∵AB∥DF，
∴AF⊥DE，
∴矩形AEFD是正方形．
故答案为：AB=CD，∠B=∠C=90°．

点评 本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．